Translation of 覚えちゃうくらいの距離で

Question

Recently I was listing a youtube video and I found a song that blew my mind. I can understand almost every word, but no matter how hard I try, I can't understand the construction: 覚えちゃうくらいの距離で. If you could, explain me the use of ちゃう and くらい because I think the definitions I have of them are not correct. I really appreciate any help you can give to me. Thank you!

Lyrics.

キミの体温感じてる　いつも口ずさむあのメロディー
覚えちゃうくらいのキョリで　同じごはん食べてても
どうしてこうも違うのかな　今は何考えてるの？

この部屋にひとりは広すぎるみたい
ねえ早く帰ってきて　My Sweet Prince

ふたりのセカイ　ふたりのミライ
一生のお願いはイラナイから

溢れる想い　溺れそうになったら
わたしがそこから救い出してあげるから

いつかおそろいで買った　色違いのクッション抱いて
寝てるキミを抱きしめる　ベッドははんぶんこ
ずっとぎゅっとくっついてたら　同じ夢まで見ちゃうかもね

「このままセカイが終わりませんように」
「このセカイがずっとずっと続きますように」　願うの

思うだけじゃ伝わらなくて　声に出さないとわからなくて
もどかしくて　わかってほしくて　無理しちゃって　ケンカもして
離れてって　寂しくて　苦しくって　泣いちゃって
それでもずっと一緒にいたいの　好きだから

ふたりのセカイ　ふたりのミライ
一生のお願いはイラナイから

溢れる想い　溺れそうになったら
わたしがそこから救い出してあげるから

キミのこと守るから

Answer 1

覚えちゃう is short form of 覚えてしまう, where 〜てしまう means something is funny, exaggerated, accidental, or some other type of emphasis.

くらい here means "the amount" or "to the extent"

UPDATE: The explanation I had here was wrong, which was pointed about by user naruto. So I am re-writing it based on his suggestion which I agree with.

Here 覚える simply means "to remember" or even "memorize", and the connotation is that the melody referred to in the previous line is at such a distance (= so close) that the person hearing it will memorize it.

覚えちゃうくらいの距離で

Literal: At a distance such that I remember it

Non-literal (but more natural): So close that it sticks in my head