From here:
両者は、どちらも何かが低いところから高いところへ動くという意味では共通していますが、いくつかの違いがあります。
たとえば、「空に太陽がのぼる」とは言えても「空に太陽があがる」とは言えません。また「空に花火があがる」とは言えますが、「空に花火がのぼる」とは言えません。
ここでの違いは、「花火」は誰かが「あげた」結果、空に「あがった」のに対し、「太陽がのぼる」のはそうした人為的なものではなく自然現象であるという点にあります。つまりこれらの場合は、「あげる」という作用が働いた結果として高いところへ動くのが「あがる」であるのに対し、おのずから動いているのが「のぼる」であるという違いがあります。
ただし、「あがる」が「おのずから動く」という解釈になる場合も存在します。たとえば「階段をあがる」は、だれかが「あげた」結果「あがる」わけではありません。このように他動詞的に用いられる場合は「あがる」も自ら動作する解釈となります。この場合は「階段をあがる」でも「階段をのぼる」でも意味の差は少なくなります。
ただし、「あがる」は位置変化全般を指し示し得るのに対し、「のぼる」は「山を頂上へのぼっていく」とは言えても「海中を浅瀬へのぼっていく」では不自然となるように、使われる場面が限られてきます。
Translation:
Both of them shared the meaning of moving from a low area to a high area. However, there are several differences between them.
For example, even though you can say 空に太陽がのぼる, you cannot say 空に太陽があがる. Also, you can say 空に花火があがる, but not 空に花火がのぼる.
The difference is that 花火 is the result of somebody shooting them up, while 太陽がのぼる is not something caused by humans, but a natural phenomenon. In other words, the result of somebody あげるing something and having it go to a higher place is あがる, while something that goes to a higher place by itself is のぼる.
However, あがる also sometimes can be interpreted to mean something going to a higher place by itself. For example, in 階段をあがる, the result is not due to somebody lifting someone else up, etc. In these cases when あがる is uses as a transitive verb, it can mean that the movement is done by itself (autonomously) . In these situations, 階段をあがる and 階段をのぼる have very little difference in meaning.
However, even though あがる can be used to indicated any type of change in position, while you can say 山を頂上へのぼっていく, you cannot say 海中を浅瀬へのぼっていくas it is unnatural, so the cases when you can use it are limited.
※I may have made mistakes, please feel free to edit.
Differences between 上がる, 揚がる and 挙がる.
上がる has many meanings and is the most commonly used.
It generally means: 1) To go up. 2) Something comes to an end.
Examples:
1) 立ち上がる、気温が上がる、花火が上がる
2) バッテリーが上がる, 雨が上がる
揚がる has more specific meaning: 1) Something flying into the air. 2) Moving from water or air to land. 3) Cooking Tempura and other fried foods just the right amount.
Examples:
1) たこ揚げ, 花火が揚がる ※ Notice how 花火が上がる and 花火が揚がる are both okay.
2) 漁港にブリが揚がった、国旗が揚がった
3) てんぷらが揚がる
挙がる means: 1) Become clear or stand out, 2) Take action so that something stands out. *: Notice the "fist" in the character and it will make more sense.
Examples:
1) 証拠が挙がる, 犯人が挙がる、名が挙がる
2) 手を挙げて意見を言う (Ill try to find one with 挙がる later)