Back to basics. Sometimes I see something that undoes everything I think I know.
私はあなたがいつも忙しいことを分かっています。
私はあなたがいつも忙しいと分かっています。
I know that you are always busy.
Which of the above is correct? I have seen several instances of 分かる used with と, but I'm confused because nothing is being quoted, either directly or indirectly when using this verb.
When/is it ever correct to use と分かっています if there isn't an implied verb like 思う/言う etc. in between.
私はあなたがいつも忙しいことを分かっています。
私はあなたがいつも忙しいと分かっています。
Grammatically speaking, both are perfectly correct. The quotative particle と can be used with many verbs like 知る, 分かる, 見なす, 認識する and 捉える. Another simpler example:
高いことを知っていて買った。
高いと知っていて買った。
I bought it knowing it's expensive.
In ordinary conversations, perhaps people prefer ～と simply because it's shorter. ～ことを is preferred in formal or complicated sentences. And you can omit 私は and topicalize the nominalized こと-part instead:
あなたがいつも忙しいことは分かっています。
私はあなたがいつも忙しいことを分かっています。
私はあなたがいつも忙しいと分かっています。
I don't really know why but what I really feel natural is either
私はあなたは忙しいのだということは分かっています。
私はあなたが忙しいことは分かっています。
However, sometimes or some of us would omit things in spoken language. I'm sensing though that more people shorten to only と, for example, instead of という, and I myself feel somewhat uneasy with these expressions.
[Edit to add]
分かる is, by the way, one of some verbs that take が to indicate the theme, and, in this case, the theme is the object of the verb, 分かる.
We don't say ものごとを分かる, though we say ものごとを理解する.
There are some verbs that takes が to indicate the object; 計算ができる, 海が好き, etc. For some of them, を is barely acceptable, but が sounds just the right instead.
「物のよしあしが分かる」「言わんとすることはよく分かる」「訳が分からない」
「身元が分かる」「答えが分かる」「持ち主の分からない荷物」
「話の分かる人」
（分かる | デジタル大辞泉）１-2 希望・好悪・能力などの対象を示す。「水が飲みたい」「紅茶が好きだ」「中国語が話せる」
（が | 同上）
