Consider the following example sentence (taken from an exercise sheet):
熱が下がらず苦しかった。
Now consider this sentence I made:
熱が下がらないで苦しかった。
What is the difference?
Consider the following example sentence (taken from an exercise sheet):
熱が下がらず苦しかった。
Now consider this sentence I made:
熱が下がらないで苦しかった。
What is the difference?
There are several ways of saying the same thing:
熱が下がらず苦しかった。 - literary or stiff expression
熱が下がらなくて苦しかった。 - casual / conversational.
熱が下がらないので苦しかった。 - using explicit ので "because".
I think ~ないで is used mostly for: ① negative imperative: "さわらないで!" (milder than さわるな!) ② in the form of ~ないでいる and ~ないでおく: "今は言わないでおこう" ③ before various verbs: "顔も洗わないで行っちゃった". In cases ② and ③, ないで can be substituted with ずに.
Based on these, 熱が下がらないで苦しかった and 熱が下がらずに苦しかった are both understandable but sound slightly clumsy or unnatural, perhaps because 苦しかった is not a verb. With a verb instead, 熱が下がらないで苦しんだ and 熱が下がらずに苦しんだ are both fairly correct (except that 苦しんだ is rather a literary expression).
To add to the other answer, I was taught that 〜なくて can imply a a causal relationship, while 〜ないで doesn't.
電車に乗れなくて、遅刻した。 - I was late because I couldn't get on the train.
シャワーを浴びないで、家を出た。 - I left the house without taking a shower. (but not because)
In these examples, the two are not interchangeable as far as I know.
Also, as the other answer mentioned, 〜ないでください is the standard form for negative imperative / requests and can't be substituted by 〜ず or 〜なくて.