It looks like らぁ in your examples denotes quickly pronounced/slurred るわ:

人には忘れちゃならねーもんがあらぁ → 人には忘れちゃならねーもんがあるわ

おまえを男にしてやらぁ、ジム。→ おまえを男にしてやるわ、ジム。

あと勇気があらぁ → あと勇気があるわ(or possibly あと勇気があるな)

ほとんどなんでも塩梅してくれらぁね。→ ほとんどなんでも塩梅してくれるわね。

これでPS2でも録画できらぁ → これでPS2でも録画できるわ

It seems this may be a characteristic of Tokyo Shitamachi pronunciation; see What does the 「たあ」 do in this sentence?

It looks like らぁ in your examples denotes quickly pronounced/slurred るわ:

人には忘れちゃならねーもんがあらぁ → 人には忘れちゃならねーもんがあるわ

おまえを男にしてやらぁ、ジム。→ おまえを男にしてやるわ、ジム。

あと勇気があらぁ → あと勇気があるわ(or possibly あと勇気があるな)

ほとんどなんでも塩梅してくれらぁね。→ ほとんどなんでも塩梅してくれるわね。

これでPS2でも録画できらぁ → これでPS2でも録画できるわ

Going by the Stevenson’s quotes on Weblio, it seems to be used for “rough men” speech.

Originally it may have come from the characteristic Tokyo Shitamachi pronunciation; see What does the 「たあ」 do in this sentence?