It seems to me that 知った振り and 知ったか振り are basically interchangeable, but 知ったか振り is a little more frequently used in everyday conversation or daily situations than 知った振り. These are the examples found on the web.
- 知ったかぶりをする男性って本当にうざいと思う。
- 女性の知ったかぶりは、場合によってはかわいく思える。
- 同僚の知ったかぶりには、いつもイライラさせられる。
- 大事な仕事で知ったかぶりをされると、トラブルにつながる。
- 「知ったかぶり」は印象が悪い
Of course, all of these are used with a nuance of criticizing somebody. But this may be true of 知った振り.
And we have no definite etymology of this expression, but I have guessed this etymological process.
- 知っているかのような振りをする。
- 知っているかの振りをする。
- 知ったか振りをする。
or, more likely
- 知ったかのごとき振りをする。
- 知ったかの振りをする。
- 知ったか振りをする。
Lastly, though I have not done enough research, there will be any other expressions constructed like that.
僕を気付かなかった振りをして
-> 「僕に気づかなかったふりをして」since 気づく takes に, not を.