According to dictionary.goo.ne.jp
Definition of びっくり
1 (「吃驚」「喫驚」とも当てて書く)突然のことや意外なことに一瞬おどろくさま。「急に肩をたたかれてびっくりする」
2 わずかに動くさま。びくり。多く、否定の語を伴って用いる。
「―ともする若衆ぢゃあねえ」〈伎・名歌徳〉
Translation!
1To be surprised from unexpected or sudden things for an instant.
2 To barely move (Move just a little). Commonly accompanied with the negative form.
Examples: https://dictionary.goo.ne.jp/word/en/びっくり/#je-103152
Definition source: https://dictionary.goo.ne.jp/word/びっくり/#jn-185375
Definition of 驚く
[動カ五(四)]《意識していなかった物事に、はっと気づく意が原義》
1 意外なことに出くわして、心に衝撃を受ける。びっくりする。感嘆する。「宇宙の神秘に―・く」「父の博識に―・く」
2 はっと気がつく。
「ほととぎすけさ鳴く声に―・けば君に別れし時にぞありける」〈古今・哀傷〉
3 目が覚める。
「あまたたび言ふ声にぞ―・きて見れば」〈枕・八〉
(To suddenly realize something that the speaker was not conscious)
1To encounter with something unexpected, to receive a shock in heart. To be surprised (びっくり). To admire.
2Sudden realizing.
3To wake up (Open eyes)
Examples: https://dictionary.goo.ne.jp/word/en/驚く/#je-8753
Definition source: https://dictionary.goo.ne.jp/word/驚く/#jn-32198
Almost the same thing.
As I can see 驚く has negative connotations as well, you are surprised at something that is not subjectively good.