In the Kanzen Master N2 listening textbook, there's a table of phrases to be aware of, and it includes both 申{もう}し出{で} and 提案{ていあん} in the "function" part of the table:
提案:
〜たらどう?
こっちの色にしたらどう? ("How about going with this colour?")
〜たほうがいい
もっと大きくしたほうがいいよ。 ("It'd be best to go with a larger (sized one).")
申し出:
〜ましょう(か)
荷物、持ちましょうか? ("Shall I/we take your luggage?")
But what is the difference between 提案 and 申し出? Both seem to me to mean "proposal", and the Genius J-E dictionary definition for 申し出 includes 提案 in it:
もうしで【申し出】
- proposal: …【…する/…という】提案【to do/that節】…
- offer: …【…しようという】提案【to do】…