The reason is very simple. It is because the phrase before the 「の」 modifies a noun in each of the two sentences. Only 「の」 can connect a modifier to a noun.
「多発性硬化症についての研究」
is correct because 「研究」 is a noun. Without a 「の」, the following word must be a verb as in:
「多発性硬化症について研究する/した/している, etc.」
BTW, your teacher overlooked two more mistakes.
1) You need to use another 「の」 right after the 「研究」 as well. It is incorrect to say 「研究ためにも」.
2) You should not use a 「も」 on both sides of the 「寄付」. Drop the first one.
To sum up, here is what is correct:
Correct: 「多発性硬化症についての研究のために寄付もします」
Correct: 「多発性硬化症について研究するために寄付もします」
A switch from 「研究」(noun) to 「研究する」(verb) causes the grammatical changes above.
Moving on to your second sentence..
「第一印象」is, of course, a noun; therefore, you need to say 「彼に対しての第一印象」.
Like I showed with the frst sentence, you could do away with the 「の」 if you correctly changed the grammar of the sentence around. You can say:
「彼に対して、どんな第一印象を持ちましたか。」
Here, 「彼に対して」 modifies 「持ちました」, which once again is a verb.