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Consider the following mathematics question,
Each of integers from 1 to N is written on a separate piece of card.
It means that there are N cards, each with a distinct number.
Is it understandable if I say as follows in Japanese?
一からNまでの整数のめいめいはそれぞれ別のカードの一枚に書かれた。
In math questions, you would usually say like this:
「N枚のカードに、それぞれ１からNまでの異なる整数が書かれています。」
「N枚のカードに、それぞれ１からNまでの整数が１つずつ書かれています。」
or 「N枚のカードに、それぞれ１からNまでの異なる整数が１つずつ書かれています。」
It's also common to say like this:
「１からNまでの異なる整数が書かれたN枚のカードがあります。」
「１からNまでの整数が１つずつ書かれたN枚のカードがあります。」
or 「１からNまでの異なる整数が１つずつ書かれたN枚のカードがあります。」
I think you could also say like this:
「N枚のカードがあり、それぞれに１からNまでの異なる整数が書かれています。」
「N枚のカードがあり、それぞれに１からNまでの整数が１つずつ書かれています。」
or 「N枚のカードがあり、それぞれに１からNまでの異なる整数が１つずつ書かれています。」
or maybe like this, but this might be a bit wordy:
「N枚のカードがあり、それぞれに１からNまでのうちいずれかの整数が１つずつ書かれています。」
Each of（各々{おのおの}の） integers（整数（は or が）） from 1 to N（１からＮまでの） is written（書かれています） on a separate piece of card（それぞれ一枚のカードに）.
Then the following is the best translation.
１からＮまでの各々{おのおの}の整数は、それぞれ一枚のカードに書かれています。
Your translation
一からNまでの整数のめいめいはそれぞれ別のカードの一枚に書かれた。
"整数のめいめい" is just acceptable as a translation by non-native Japanese speaker, at least you should use "めいめいの整数." "それぞれの整数" is far better.
If the N numbers (from 1 to N) are written in a card, it should be traslated into "１からＮまでの整数が、一枚のカードに書かれています。"
There is no need to use "各々," "それぞれ" or "めいめい" to describe this picture. There are two substances, one is a group of Numbers and the other is a card.
I think "めいめい" is usually used for people to mean each person.
So, your sentence "一からNまでの整数のめいめいはそれぞれ別のカードの一枚に書かれた。" can be rephrased to read as follows:
"1からNまでの整数がそれぞれ別々のカードに書かれています".
「カード一枚ずつに一つの整数」 means "one integer for each card" or "one integer per card". The key you are looking for is "ずつに".
「1からNまで、カード一枚ずつに一つの整数 ...」
