ドラマを見つづけていたら、朝になってしまいました。
The ~ていたら indicates that something happened while you're doing the action, meaning "while I was doing~~", and ~てしまいました indicates an unintended result or the speaker's regret.
Examples:
- テレビを見ていたら、電話が鳴った。
While I was watching TV, the phone rang.
- ガラスを割ってしまいました。/ ガラスが割れてしまいました。
I (unintentionally) broke the glass. / The glass broke (and I feel sorry about it).
ドラマを見つづけたら、朝になりました。
This sentence has lost both of the meanings/nuances of "while I was doing~~" and "unintended result or regret". And ドラマを見つづけたら part sounds a little unnatural to me, because it sounds like "When/As I continued watching dramas, morning came", "I continued watching dramas, and because of that / as a result of that, morning came."
Example:
- 触ったら、壊れました。
I touched it, and (because of that,) it broke.
- Cf: 触っていたら、壊れました。
While I was touching it, it broke.