Is the で after おかげ a て-form or the context particle?
友達のおかげで、映画はただで見られた。
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It's the case particle で. It's not the te-form of a verb because おかげ is not a verb but a noun: the polite prefix お + a noun 陰. The で is not the 連用形(continuative form) of the assertive auxiliary だ either, because your sentence is not two sentences 「友達のおかげだった。そして映画はただで見られた。」
友達の おかげ で、映画はただで見られた。
The meaning is : "Thanks to my friend(s), . . . "
のおかげで by grace of, by virtue of, It's thanks to, owing to
Literaly : (Because of) being owing to my friend(s), . . . ( literal tr. is esp. hard because of おかげ )
Here, のおかげで is a Te-form of のおかげだ --- Same as the example (6) below : "Today being Saturday, . . . "
See: https://japanese.stackexchange.com/a/38582/16344
(5) a. 公園でポピーに会って, ヒューはとても喜んだ。
b. [Bumping into] Poppy in the park, [Hugh] was very pleased.
Having bumped into ... ,
(6) a. 今日は土曜日で, ヒューは学校がある。
b. Today being Saturday, [Hugh] has school.
(7) a. 正直に言って, クーは太りすぎだ。
b. Honestly speaking, Koo is overweight.
Is the で after おかげ a て-form or the context particle?
Wow! i had no idea that this is such a hard question. I believe that in some fundamental sense, there is no difference between the two for おかげで
Several Web sites seem to classify おかげで as [て形], but maybe if i check closely, they may contain restrictions or limitations.
タダ券の おかげ で、映画はただで見られた。
今日が土曜日なのと タダ券の おかげ で、映画はただで見られた。
友達のタダ券の おかげ で、映画はただで見られた。
今日は土曜日で 友達がタダ券を送ってくれた おかげ で、映画はただで見られた。
今日が土曜日なのと 友達がタダ券を送ってくれた おかげ で、映画はただで見られた。