寝る means sleeping.
Eg. He is sleeping. 彼は寝ている。
眠る means sleepy.
眠い (adv) means sleepy.
so.. we usually use "So sleepy today.." => 眠いなあ。。
Hope this help :)
Edited:
寝る
1) 横になる Lie down
彼は草の上に寝ている。 He is lying on the grass.
2) Get to bed
寝る時間だ。 Time to go to bed.
3) Sleep (same with 眠る)
お茶を飲みすぎて寝られなかった。Too much tea kept me awake.
4) Lie idle (things, etc)
銀行に寝ているお金 Money sitting in the bank
5) Sleep (with somebody)
Other usage:
寝ても覚めても awake or asleep
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眠る
1) Sleep; have a sleep.
ぐっすり眠っている fast asleep
2) Lie buried.
3) Lie idle (things, etc)