Are both phrases grammatically correct and how do you translate both?
世界の一番ゆうめいです
世界で一番ゆうめいです
Only the second sentence:
「世界で一番ゆうめいです。」
is correct and it means:
"(Something/Someone) is the best-known in the world."
「世界の一番ゆうめいです。」 makes no sense.
One could also say 「世界一ゆうめいです。」.