From 明鏡国語辞典:
つづける【続ける】〘動下一〙
㈠ 〘他〙
❶ ある動作や状態を中断させることなく保つ。〔意図的なものにもそうでないものにもいう〕
❷ 間をおかずに物事を繰り返し行う。また、そのたびごとに同じ物事を繰り返し行う。
(...)
㈡ 《動詞の連用形に付いて複合動詞を作る》とぎれずにずっと...する。
「降り続ける・燃え続ける・歩き続ける・眠り続ける・話し続ける・考え続ける・飲み続ける・勝ち続ける・失敗し続ける」
続ける is a transitive verb meaning "to continue" "to repert" etc. when used on its own (difinition ㈠ above), and can attach to the continuative form (連用形) of a verb to create a compound verb (複合動詞), meaning "lit. do ~~ continuously without pausing" → "keep ~~ing, continue to do~~" (difinition ㈡ above). Examples given include 降り続ける.
広辞苑 has an entry:
ふり‐つづ・く【降り続く】
〔自五〕長い間続いて降る。
デジタル大辞泉 also has an entry for 降り続く here.
So we have:
- [降]{ふ}り続ける・降り続く(自動詞)
- 上がり続ける(自動詞)×上がり続く
- 上げ続ける(他動詞)×上げ続く
- 回り続ける(自動詞)×回り続く
- 回し続ける(他動詞)×回し続く
- 鳴り続ける(自動詞)?鳴り続く
- 鳴らし続ける(他動詞)×鳴らし続く
etc...
According to NHK:
Q.「雨が降り続ける」という表現について
「雨が降り続けている」という表現は×,という指導を受けた。語感として理解はできるが,文
法的に何が間違いなのか。「川の水が流れ続けている」はいいと思うがどうだろうか。
A.雨については自然現象ということもあり,「降り続ける(降り続けている)」よりも「降り続く(降り続いている)」のほうが,しっくりくる人もいるようだ。ただ,「雨が降り続ける」も日本語として間違いとは言えず,例えば,現場中継で「雨が降り続けると土砂災害の危険が~」という形であれば,そこまで違和感なく聞こえるのではないだろうか。
また,動詞は,通常「●●続ける」という形をとることが多く,「(降り)続く」という表現が多
い「雨」は例外的と言えるであろう。
降り続ける and 降り続く are both correct, some prefer to use 降り続く over 降り続ける, verbs normally take ~~続ける form, and the word 降り続く is an exception.