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夏休みにやることもなく...

means "During summer vacation I had nothing to do, and/so..."

「やること」 → "things to do" "something to do"
「やることがない」 → "have nothing do to" (≂ 「ヒマだ」 in your context)

cf:
「話すこと」 → "things to talk about"
「話すことがない」 → "have nothing to talk about"
「書くこと」 → "things to write about"
「書くことがない」 → "have nothing to write about"
「見るもの」 → "things to see"
「見るものがない」 → "there's nothing to see"

The continuative form (連用形) なく is used here to connect two clauses, like a conjunction "and" or so".

_{As for the も replacing the が, it's used to indicate...}

_{も　🈩〘副助*〙
⓬ さりげなくとりたてて、文意をやわらげる。
「お腹もすいたし、食事にするか」「天気もいいから、散歩でもしよう」
-- from 明鏡国語辞典 (*明鏡 categorizes 係助詞/binding particle as 副助詞/adverbial particle)}

夏休みにやることもなく...

means "During summer vacation I had nothing to do, and/so..."

「やること」 → "things to do" "something to do"
「やることがない」 → "have nothing do to" (≂ 「ヒマだ」 in your context)

cf:
「話すこと」 → "things to talk about"
「話すことがない」 → "have nothing to talk about"
「書くこと」 → "things to write about"
「書くことがない」 → "have nothing to write about"
「見るもの」 → "things to see"
「見るものがない」 → "there's nothing to see"

The continuative form (連用形) なく is used here to connect two clauses, like a conjunction "and" or "so".

_{As for the も replacing the が, it's used to indicate...}

_{も　🈩〘副助*〙
⓬ さりげなくとりたてて、文意をやわらげる。
「お腹もすいたし、食事にするか」「天気もいいから、散歩でもしよう」
-- from 明鏡国語辞典 (*明鏡 categorizes 係助詞/binding particle as 副助詞/adverbial particle)}

夏休みにやることもなく...

means "During summer vacation I had nothing to do, and/so..."

「やること」 → "things to do" "something to do"
「やることがない」 → "have nothing do to" (≂ 「ヒマだ」 in your context)

cf:
「話すこと」 → "things to talk about"
「話すことがない」 → "have nothing to talk about"
「書くこと」 → "things to write about"
「書くことがない」 → "have nothing to write about"
「見るもの」 → "things to see"
「見るものがない」 → "there's nothing to see"

_{As for the も replacing the が, it's used to indicate...}

_{も　🈩〘副助*〙
⓬ さりげなくとりたてて、文意をやわらげる。
「お腹もすいたし、食事にするか」「天気もいいから、散歩でもしよう」
-- from 明鏡国語辞典 (*明鏡 categorizes 係助詞/binding particle as 副助詞/adverbial particle)}

夏休みにやることもなく...

means "During summer vacation I had nothing to do, and/so..."

「やること」 → "things to do" "something to do"
「やることがない」 → "have nothing do to" (≂ 「ヒマだ」 in your context)

cf:
「話すこと」 → "things to talk about"
「話すことがない」 → "have nothing to talk about"
「書くこと」 → "things to write about"
「書くことがない」 → "have nothing to write about"
「見るもの」 → "things to see"
「見るものがない」 → "there's nothing to see"

The continuative form (連用形) なく is used here to connect two clauses, like a conjunction "and" or so".

_{As for the も replacing the が, it's used to indicate...}

_{も　🈩〘副助*〙
⓬ さりげなくとりたてて、文意をやわらげる。
「お腹もすいたし、食事にするか」「天気もいいから、散歩でもしよう」
-- from 明鏡国語辞典 (*明鏡 categorizes 係助詞/binding particle as 副助詞/adverbial particle)}

夏休みにやることもなく...

means "During summer vacation I had nothing to do, and/so..."

「やること」 → "things to do" "something to do"
「やることがない」 → ";to have nothing do to" (≂ 「ヒマだ」 in your context)

_{As for the も replacing the が, it's used to indicate...}

_{も　🈩〘副助*〙
⓬ さりげなくとりたてて、文意をやわらげる。
「お腹もすいたし、食事にするか」「天気もいいから、散歩でもしよう」
-- from 明鏡国語辞典 (*明鏡 categorizes 係助詞/binding particle as 副助詞/adverbial particle)}

夏休みにやることもなく...

means "During summer vacation I had nothing to do, and/so..."

「やること」 → "things to do" "something to do"
「やることがない」 → ";have nothing do to" (≂ 「ヒマだ」 in your context)

cf:
「話すこと」 → "things to talk about"
「話すことがない」 → "have nothing to talk about"
「書くこと」 → "things to write about"
「書くことがない」 → "have nothing to write about"
「見るもの」 → "things to see"
「見るものがない」 → "there's nothing to see"

_{As for the も replacing the が, it's used to indicate...}

_{も　🈩〘副助*〙
⓬ さりげなくとりたてて、文意をやわらげる。
「お腹もすいたし、食事にするか」「天気もいいから、散歩でもしよう」
-- from 明鏡国語辞典 (*明鏡 categorizes 係助詞/binding particle as 副助詞/adverbial particle)}