寝る means sleeping.
Eg. He is sleeping. 彼は寝ている。
眠る means sleepy.
眠い (adv) means sleepy.
so.. we usually use "So sleepy today.." =>眠いなあ。。
Hope this help :)
Edited:
寝る
1) 横になる Lie down
彼は草の上に寝ている。 He is lying on the grass.
2) Get to bed
寝る時間だ。 Time to bed.
3) Sleep ( same with 眠る)
お茶を飲みすぎて寝られなかった。
Too much tea kept me awake.
4) Lie idle ( things ,etc)
銀行に寝ているお金。
Money sitting in the bank.
5) Sleep (with somebody)
Other usage:
寝ても覚めても
awake or asleep
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眠る
1) sleep; have a sleep.
ぐっすり眠っている。fast asleep.
2) lie buried.
3) Lie idle ( things ,etc)